《mie散射系數(shù)的新算法》
王少清 任中京 張希明 何芳 江海鷹
(山東建筑材料工業(yè)學(xué)院，濟(jì)南 250022)
提要：介紹了一種計(jì)算mie散射系數(shù)的新方法，給出了計(jì)算實(shí)例。
關(guān)鍵詞：米氏散射，mie系數(shù)，mie計(jì)算
new algorithm of mie scattering parameters
wang shaoqing ren zhongjing zhang ximing hefang jiang haiying
(shandong institute o f building materials，jinan 250022)
abstract：a new algorithm of calculating mie parameters was introduced. some calculation results done with this algorithm were given.
key words: mie scattering ，mie parameters，mie calculation
1 引言
mie 理論是球形顆粒對(duì)單色光的散射場分布的嚴(yán)格解析解[1]，目前在環(huán)保、動(dòng)力、氣象、天文、兩相流及粉體顆粒尺寸分布測量等工程技術(shù)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。利用單一顆粒或顆粒群光散射場的測量數(shù)據(jù)?？梢苑赐频蒙⑸漕w粒或顆粒群的很多物理性質(zhì)，如顆粒的尺寸、顆粒的折射率等[2]。但反推必須事先計(jì)算出各種尺寸的顆粒在各種復(fù)折射率下的散射場分布數(shù)據(jù)。1968 年dave[3]發(fā)表了完整的mie散射計(jì)算方法，以后lentz[4]和wiscomb[5]又針對(duì)部分計(jì)算提出了新算法。國內(nèi)也有人發(fā)表了他們自己的算法[6、7、8]。但總的看來，這些算法均有各自的局限性。尤其是當(dāng)顆粒尺寸或折射率的虛部值較大時(shí)，往往計(jì)算速度過慢或產(chǎn)生溢出和不收斂等現(xiàn)象。本文介紹作者發(fā)展的mie 散射新算法。該算法的特點(diǎn)是不受顆粒尺寸及折射率的限制，不會(huì)產(chǎn)生溢出和不收斂的現(xiàn)象，且具有較快的計(jì)算速度。
2 mie散射系數(shù)的計(jì)算公式
mie 散射計(jì)算的中心問題是計(jì)算mie 散射系數(shù)an 和bn，其表達(dá)式為[9]
其中為顆粒的尺寸參數(shù)，定義為α=πd/λ，d為顆粒直徑，λ為入射光在顆粒周圍介質(zhì)中的波長，而m為顆粒在周圍介質(zhì)中的相對(duì)復(fù)折射率，即m= m1 + im2 ( m2< 0) , 式中i 為虛數(shù)單位。而ψn( z) 和ξn( z) ( z 既表示α，又表示mα)的表達(dá)式為
ψn( z)=（πz/2）jn+1(z)
ξn( z)=ψn( z)+iχn(z)
χn(z)= ? (πz/2)( ? 1)n-1j-(n-1)(z)
= ? (πz/2)nn+1(z)
3 計(jì)算中產(chǎn)生溢出的原因
計(jì)算mie 散射系數(shù)須先計(jì)算ψn 和χn。一般采用遞推的方法。遞推又分為向前遞推( 即從n= 0 開始) 與向后遞推( 即從n= n 開始至n=0, n 為預(yù)先設(shè)定值) 。實(shí)驗(yàn)表明，向前遞推總是快于向后遞推。ψn 和χn的初值為
分析以上兩式可知，當(dāng)m2≠0 時(shí), 若顆粒尺寸d很大, 或復(fù)折射率的虛部值m2很大，將使得乘積m2d很大，可使兩式中的項(xiàng)exp( - m2 α) =exp ( - πm2d/ λ) 的值超過計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)限，從而產(chǎn)生溢出，這是產(chǎn)生溢出的重要原因。另外，在遞推過程中，不恰當(dāng)?shù)乃惴ㄒ部赡茉斐梢绯觥?br>4 an和bn的新算法
為解決上述問題，作者提出了新的算法。將an和bn的公式變形如下: 令
其中l(wèi)nr、lnj分別表示ln(m)的實(shí)部與虛部。將（2）式代入（1）式，并用anr、anj和bnr、bnj分別表示的實(shí)部與虛部。如此可推得
在上述四個(gè)公式中采用比值的形式是非常重要的，這樣可避免遞推過程中當(dāng)ai與bi 較大時(shí)乘法運(yùn)算可能產(chǎn)生的溢出。這是本算法的一個(gè)重要特點(diǎn)。在以上四式中
由于均為實(shí)變量函數(shù)，計(jì)算不產(chǎn)生溢出。關(guān)鍵是和的算法如何處理，才能保證計(jì)算中不產(chǎn)生溢出。在lentz的算法中是采用連分式計(jì)算ln的值，其精度的保證是由在大量計(jì)算基礎(chǔ)上得出一個(gè)截?cái)囗?xiàng)數(shù)n與參數(shù)a與m的經(jīng)驗(yàn)公式而實(shí)現(xiàn)的。這樣的經(jīng)驗(yàn)公式，一則有實(shí)用上的局限性，再則也會(huì)帶來截?cái)嗾`差。文獻(xiàn)（6）對(duì)此經(jīng)驗(yàn)公式做了改進(jìn)，但仍陷于a=1~100，m1=1~2，m2=0~1的范圍。下面介紹本文作者發(fā)展的關(guān)于ln的新算法。該算法的特點(diǎn)是不受a及m值的限制，不會(huì)產(chǎn)生溢出或不收斂等病態(tài)現(xiàn)象，且具有較快的計(jì)算速度。令
上面導(dǎo)出的(3) - (20)諸式，構(gòu)成了mie系數(shù)an和bn的完整算法。由于an和bn是從n= 1開始計(jì)算，利用初值公式(16) - (20)即可算得任意級(jí)數(shù)的an和bn的值，故沒有舍入誤差的問題。從(16)式可見，因?yàn)閥= m2ɑ≤0, 故無論m2和ɑ取何值均不會(huì)產(chǎn)生溢出，再加上(3)的各式中采用了比的形式，又避免了計(jì)算過程中的溢出，這就從根本上解決了溢出的問題。
5 計(jì)算實(shí)例
利用以上算法編制了計(jì)算顆粒散射場強(qiáng)度和消光系數(shù)的計(jì)算機(jī)程序。當(dāng)波長為λ的單位振幅的平面自然光入射顆粒時(shí)，顆粒的散射光強(qiáng)為[9]
ξ為計(jì)算機(jī)在雙精度下的最小數(shù)據(jù)限。
圖1示出散射光強(qiáng)的一組計(jì)算實(shí)例。其中取m1=1.33，m2=-0.4，λ=0.6328三圖分別對(duì)應(yīng)于顆粒的直徑為d=0.001,1.0和30μm。而d圖為顆粒直徑d=100μm時(shí)散射花樣的局部放大?？梢?，隨著顆粒尺寸的增大，前向散射迅速加強(qiáng)，并且出現(xiàn)了復(fù)雜的旁瓣。
實(shí)部(a)與虛部(b)的變化情況。可見隨著m1和m2的增大，雖然顆粒的尺寸保持不變，但散射也加強(qiáng)，且后向散射隨著m1和m2的增大而加強(qiáng)。
圖3給出有關(guān)消光系數(shù)的計(jì)算結(jié)果，其中a)和b)分別表示消光系數(shù)隨折射率實(shí)部與虛部的變化情況?？梢婋S著顆粒直徑的增大，消光系數(shù)趨近于2; 折射率的增大，尤其是折射率虛部的增大，使這一趨近變得更快和更明顯。另外當(dāng)折射率的虛部m2= 0時(shí)，消光系數(shù)隨顆粒直徑的增大而振蕩；但當(dāng)m2≠0 時(shí)，振蕩迅速消失。
光強(qiáng)值處所對(duì)應(yīng)的fm(z)的值即上式確定。由上式也可見：此極限情況下的焦移大小主要由s0/f及na所決定。
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勒夫邁激光傳感器應(yīng)用領(lǐng)域：空氣凈化器，空調(diào)，pm2.5檢測儀，抽油煙機(jī)，煙霧報(bào)警器，新風(fēng)系統(tǒng)，專用pm2.5傳感器，空氣探測儀，穿戴設(shè)備等。